n divise-t-il n + 22 ? - Corrigé

Énoncé

Déterminer l'ensemble des entiers relatifs \(n\) tels que \(n\) divise \(n+22\) .

Solution

Soit \(n \in \mathbb{Z}\)   tel que \(n\) divise \(n+22\) .
Alors \(n\) divise aussi \(n-(n+22)=n-n-22=-22\) .
Or \(\mathscr{D}(22)=\left\lbrace -22 \ ; -11 \ ; -2 \ ; -1 \ ; 1 \ ; 2 \ ; 11 \ ; 22 \right\rbrace\) .
On a donc : \(n \in \left\lbrace -22 \ ; -11 \ ; -2 \ ; -1 \ ; 1 \ ; 2 \ ; 11 \ ; 22 \right\rbrace\) .

Réciproquement, on récapitule toutes les possibilités dans un tableau :

\(\begin{align*}\renewcommand{\arraystretch}{1.1}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline n & -22& -11& -2& -1& 1& 2& 11& 22\\ \hline n+22& 0& 11& 20& 21& 23& 24& 33& 44 \\ \hline n \vert (n+22) \text{ ?}& \text{oui}& \text{oui}& \text{oui}& \text{oui}& \text{oui}& \text{oui}& \text{oui}& \text{oui}\\ \hline \end{array}\end{align*}\)   

Finalement, les entiers \(n \in \mathbb{Z}\) tels que \(n\) divise \(n+22\) sont exactement \(-22\) , \(-11\) , \(-2\) , \(-1\) , \(1\) , \(2\) , \(11\) et \(22\) .